Dans cette série d’exercices sur les oscillations libres dans les circuits LC et RLC série, nous étudions les régimes d’oscillation, l’équation différentielle, la période propre et la pseudo-période. Les exercices abordent également l’amortissement, la conservation de l’énergie électrique et magnétique ainsi que l’entretien des oscillations, conformément au programme de physique de 2ème Bac.

Exercice 1 : Oscillations libres dans un circuit RLC série.

On monte en série, à un instant choisi comme nouvelle origine des dates t=0, un condensateur de capacité C, totalement chargé, avec une bobine d’inductance L=1H, de résistance interne $r=10\Omega$, un conducteur ohmique de résistance $R=9O\Omega$.

La courbe de la figure (RLC) présente l’évolution de la tension $u_{c}(t)$aux bornes du condensateur.

1. Quel est le régime d’oscillation mis en évidence par la courbe de la figure .

2. Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension $u_{c}(t)$.

3. Sachant que la pseudopériode est égale à la période propre, trouver la capacité C du condensateur. (On prend $\pi ^{2}=10$).

Pour entretenir les oscillations électriques dans le circuit précédent représenté sur la figure ci-dessus, on insère dans ce circuit un générateur G délivrant une tension proportionnelle à l’intensité du courant $u_{G}(t)=K.i(t)$.

La courbe de la figure 3 représente l’évolution de l’intensité $i(t)$ dans le circuit dans le cas $K=K_{0}$.

4- Trouver dans le système international l’unité, la valeur de $K_{0}$.

5. Sachant que l’expression de l’intensité i(t) dans le circuit s’écrit ainsi : $$ i(t)=I_{m}.sin(\frac{2.\pi}{T} . t +\varphi)$$ Déterminer les valeurs de $I_{m}$ ,$T_{0}$ et $\varphi$ .

6. Déterminer l’énergie totale $E_t$ du circuit. Trouver l’énergie électrique $E_e$ emmagasiné dans le condensateur à l’instant $t_{1}=16ms$.

7. Déterminer l’énergie totale $E_{t}$ du circuit.

8. Trouver l’énergie électrique $E_{e}$ emmagasiné dans le condensateur à l’instant $t_{1}=16ms$.

Solution exercice 2 : Décharge d’un condensateur dans un dipôle RL et Entretien des oscillations dans un circuit RLC série

Exercice 2 : Oscillations libres dans un circuit RLC série

Partie 1 : Oscillations libres dans RLC idéal

Un condensateur de capacité $C=10\mu F$ , initialement chargé sous une tension d’un générateur idéal de tension continue E .à un instant $t=0 $ pris comme origine des dates ,On relie le condensateur aux bornes d’une bobine d’inductance L considérée comme idéale ( résistance interne r nulle) , on obtient un circuit LC idéal comme dans la figure ci-dessous.

On visualise la tension $u_{c}$ aux bornes du condensateur.

1- Reprendre le circuit électrique utilisé et représenter dans la convention « récepteur », le sens du courant électrique, la tension aux bornes de chaque composant électrique.

2- Établir l’équation différentielle qui régit les variations de la charge $q(t)$ dans le condensateur.

3- Vérifier que l’expression $q(t)=Q_{m}.cos(\frac{2.\pi}{T_{0}}.t +\varphi)$ est une solution de l’équation différentielle, déterminer l’expression de la période propre T0 du circuit LC en fonction des paramètres L et C,

4- Relever graphiquement la période des oscillations de la tension $u_{c}$, en déduire l’inductance L de la bobine.

5- Calculer la quantité d’électricité $Q_{m}$ du condensateur. (La condition initiale sur $u_{C}$).

6- Comme la charge dans le condensateur ,le courant électrique dans le circuit peux avoir une valeur maximale notée Im. Trouver l’expression de Im en fonction de $Q_{m}$ et $ T_{0}$, puis en fonction de E, L et C.

7- Donner l’expression littérale de l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur, Calculer sa valeur à t=0.

8 - Montrer que l’ énergie totale $E_{T}$ se conserve dans le circuit, et que $E_{T}=\frac{1}{2}.\frac{Q_{m}^{2}}{C}$.

9 - De la question 6, retrouver une autre expression de l’énergie totale $E_{T}$ dans le circuit $LC$ ,en fonction de$ I_{m}$ et $ L$.

Partie 2 : Etude du circuit RLC.

On considère le montage dans la partie 1, La bobine a une résistance interne non négligeable r. on visualise la tension aux bornes du condensateur, La figure ci-dessous représente la variation de la tension $u_{c}$.

10 - Expliquer qualitativement la décroissance de l’amplitude $u_{c}$. Mesurer la pseudo-période T’des oscillations.

11 - Etablir l’équation différentielle vérifiée par la tension $u_{c}(t)$.

12 - Donner l’expression de l’énergie totale Et emmagasinée dans le circuit en fonction de $u_{c}$ et les paramètres du circuit.

13 - Vérifier que la variation temporelle de Et est proportionnelle au terme $R.i^{2}$.