Dans cette série d’exercices sur le dipôle RC série, nous étudions les phénomènes de charge et de décharge d’un condensateur dans un circuit électrique. À travers différentes applications, nous abordons l’établissement de l’équation différentielle, l’évolution de la tension et de l’intensité du courant, la constante de temps ainsi que l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur. Ces exercices corrigés permettent de maîtriser les notions essentielles du programme de physique de 2ème Bac.

Exercice 1 : Charge d’un condensateur

Un condensateur de capacité C, initialement déchargé est branché en série avec un conducteur ohmique de résistance $R=100\Omega$ et un générateur idéal de tension continue de valeur en tension E.

On étudie donc le dipôle RC série, à la date t=0s, on bascule l’interrupteur en position (1), comme le montre la figure.

1. Déterminer le sens du courant électrique ainsi que les sens des tensions aux bornes des différents dipôles du circuit, puis préciser la polarité de l'armature A du condensateur.

2. Trouver l’équation différentielle que vérifie la tension $u_{c}(t)$ aux bornes du condensateur.

3. La solution générale de cette équation différentielle est de la forme :$$ u_{c}(t)=A +Be^{-mt}$$

a- En remplaçant la solution proposée dans l’équation différentielle, trouver les constantes A et m.

b- En prenant en compte la condition initiale de la tension $u_{c}(t)$, trouver la valeur de la constante B et réécrire la forme de la tension $u_{c}(t)$ en explicitant toutes les constantes. Définir alors une constante de temps, notée τ.

4. La figure 2 représente l’évolution au cours du temps de la tension $u_{c}(t)$. Graphiquement trouver numériquement la constante de temps $\tau$, la tension du générateur E puis la capacité C du condensateur.

5. Montrer qu’au bout d’un temps $t_{p}=4,6 \tau$ on obtient le régime permanent. (La tension $u_{c}(t)$ atteint une valeur constante égale à E).

Correction de l'exercice 1 - RC

Exercice 2 : Étude de l’évolution du courant dans le circuit RC

On considère le circuit électrique de l'exercice 1.

1. En appliquant la loi d’additivité des tensions, trouver l’équation différentielle de la charge électrique $q(t)$ dans le circuit.

2. Juste après la fermeture de l’interrupteur $K$, un courant $I_{0}$ circule dans le circuit RC, trouver l’expression littérale de $I_{0}$ en fonction de $R$ et de $E$.

3. Établir l’équation différentielle à laquelle obéit le courant i(t).

4. La solution de cette équation est alors : $i(t)=A e^{\frac{-t}{\tau} }$ avec $\tau=RC$ Trouver la constante A en fonction de $I_{0}$.

5. Vérifier que le courant \(i(t)\) n'est pas continu à la date $t=0$.

Exercice 3 : Capacité d'un condensateur

Un condensateur initialement déchargé est inséré dans le circuit suivant :

Le conducteur ohmique a une résistance R=100Ω. On veut alors déterminer la capacité C du condensateur et la tension E du générateur.

1. À t=0s, on ferme l’interrupteur K. Établir l’équation différentielle vérifiée par Uc(t).

2. Vérifier que $ u_{c}(t)=A(1-e^{\frac{-t}{\tau}}) $ est une solution de l'équation différentielle. Montrer alors que : $$ln(E-u_{c})=ln(E) - \frac{t}{\tau} $$.

3. La figure (2) donne la variation de $ln(E-u_{c})$ en fonction de t. Déterminer graphiquement les valeurs de \(E\) et de τ.

4. On note Ee l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur à la date $t= \tau$, et Ee(max) l’énergie électrique maximale du condensateur. Calculer le rapport $\frac{Ee} {Ee_{max}}$.

5. On insère un autre condensateur de capacité $C’$. Le circuit a donc une constante de temps égale à $\tau '= \frac{\tau}{3}$. A-t-on inséré le condensateur \(C'\) en série ou en parallèle ? Justifier la réponse.

Correction exercice 3 - RC

Exercice 4 : Décharge d’un condensateur à travers un conducteur ohmique

On considère un condensateur de capacité C, initialement chargé par l’intermédiaire d’un générateur de tension continue E, on met le condensateur en série avec un conducteur ohmique de résistance $R=100\Omega$.

le condensateur se décharge à travers la résistance R. (montage de la figure 1)

1. Orienter le circuit de décharge de la figure 1 (sens du courant et des tensions).

2.En appliquant la loi d'additivité des tensions, déterminer l’équation différentielle vérifiée par la tension \(u_C\) aux bornes du condensateur

3. On donne la solution de cette équation différentielle : $u_{c}(t)=A+B e^{\frac{-t}{\tau}}$. Déterminer les expressions littérales des constantes $A$, $B$ et $m$.

4. En effectuant une analyse dimensionnelle, montrer que la constante $\tau$ est homogène à un temps.

5. A l’aide d’un dispositif expérimental, on effectue l’acquisition des valeurs de la tension $U_C$ aux bornes du condensateur en fonction du temps.

a. Déterminer graphiquement la tension initiale E et la constante de temps $\tau$. En déduire la capacité C.

b. Par étude théorique montrer que la décharge du condensateur a lieu pour une durée $t_{p}=5 \tau$.

c. Donner l'expression de l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur, puis la calculer aux dates \(t=\tau\) et \(t=2\tau\).

Exercice 5 : Étude de la charge q d’un dipôle RC

Après la charge du condensateur (interrupteur en position 1), à la date \(t=0\,s\), on bascule l’interrupteur en position 2. Il y a donc décharge du condensateur à travers le conducteur ohmique de résistance R=100Ω.

1. Établir cette fois l’équation différentielle vérifiée par la charge $q$ du condensateur.

2. L’équation différentielle admet pour solution : $q(t)=Q e^{\frac{-t}{\tau}}$. Trouver l’expression des constantes Q et $\tau$.

3. On représente graphiquement la fonction $ln(q)$ en fonction de temps, En exploitant le graphique, trouver numériquement les valeurs de la tension \(E\) du générateur et de la capacité \(C\) du condensateur.

Exercice 6 : Charge d'un condensateur par un courant d'intensité constante

Au laboratoire d'un lycée, on dispose du matériel suivant :

- Un générateur de courant idéal délivrant un courant d'intensité constante \(I = 5,0 \, \mu\text{A}\)

- Un condensateur de capacité \(C\) inconnue.

- Un interrupteur \(K\).

- Un voltmètre numérique.

- Un chronomètre ou un système d'acquisition.

Le montage utilisé est représenté sur la Figure 1. Le condensateur est initialement déchargé. À un instant de date \(t = 0\), on ferme l'interrupteur \(K\). On mesure la tension \(u_C\) aux bornes du condensateur au cours du temps. La courbe obtenue est donnée sur la Figure 2.

1. Rappeler la relation qui lie la charge \(q_A\) portée par l'armature \(A\) du condensateur, sa capacité \(C\) et la tension \(u_C\) à ses bornes. En utilisant la définition de l'intensité du courant, montrer que l'intensité \(I\) du courant de charge s'écrit : \(I = C \cdot \dfrac{du_C}{dt}\).

2. En déduire que la tension \(u_C(t)\) au cours du temps s'exprime par : \(u_C(t) = \dfrac{I}{C} \cdot t\). Justifier alors que la courbe \(u_C = f(t)\) de la Figure 2 est bien une droite passant par l'origine.

3. En exploitant la Figure 2, déterminer la valeur du coefficient directeur (ou pente) de la droite. On précisera son unité. En déduire la valeur de la capacité \(C\) du condensateur. On donnera le résultat en \(\mu\text{F}\) (microfarad).

4. Calculer l'énergie électrique emmagasinée par le condensateur à la date \(t = 8 \, \text{s}\).

Correction de l'exercice 6 - RC