Bienvenue dans ce résumé de cours destiné aux élèves du lycée au Maroc (Tronc Commun). Nous allons étudier les conditions d'équilibre d'un corps soumis à deux forces, la loi de Hook pour les ressorts, et la célèbre poussée d'Archimède.

1. Conditions d'équilibre d'un solide soumis à deux forces

Un solide est en équilibre lorsqu'il est totalement immobile. Si ce solide est soumis à l'action de deux forces $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$, deux conditions indispensables doivent être réunies simultanément.

Première condition : La somme vectorielle des deux forces doit être nulle. Cela signifie que les deux forces se compensent parfaitement : $\vec{F}_1 + \vec{F}_2 = \vec{0}$.

Deuxième condition : Les deux forces doivent être colinéaires, c'est-à-dire qu'elles doivent avoir la même droite d'action. Si cette condition n'est pas respectée, le solide risque de tourner sur lui-même.

2. La tension d'un ressort et la loi de Hook

Un ressort est un solide déformable. Lorsqu'on l'étire ou qu'on le comprime, il exerce une force de rappel appelée tension (notée $T$). Cette force a toujours tendance à ramener le ressort vers sa position initiale.

La loi de Hook établit une relation de proportionnalité entre l'intensité de la tension et l'allongement du ressort. L'allongement, noté $\Delta \ell$, se définit comme la différence entre la longueur finale $\ell$ et la longueur à vide $\ell_0$ : $\Delta \ell = \ell - \ell_0$.

Figure 2 : Allongement d'un ressort

L'expression mathématique de la loi de Hook est : $T = K \cdot |\Delta \ell|$. Le coefficient $K$ représente la constante de raideur du ressort, exprimée en Newtons par mètre (N/m).

Lorsqu'un solide est suspendu à ce ressort et se trouve en équilibre, la tension du ressort compense exactement le poids du solide. On peut donc écrire : $T = P = m \cdot g$.

3. La poussée d'Archimède

Lorsqu'un corps est immergé dans un fluide (liquide ou gaz), il subit une force verticale orientée vers le haut. Ce phénomène explique pourquoi un objet paraît plus léger dans l'eau. Cette force est appelée la poussée d'Archimède (notée $F_A$).

D'après le principe d'Archimède, l'intensité de cette poussée est égale au poids du volume de fluide déplacé par le corps. Sa formule est : $F_A = \rho \cdot g \cdot V$. Dans cette relation, $\rho$ désigne la masse volumique du fluide, $g$ l'intensité de la pesanteur et $V$ le volume du fluide déplacé.

- Caractéristiques de la poussée d'Archimède

Point d'application : le centre d'inertie du fluide déplacé (qui correspond au centre d'inertie de la partie immergée du solide).

Direction :verticale.

Sens : vers le haut

Valeur : égale au poids du fluide déplacé, soit \(F_a = \rho \cdot V \cdot g\).

Dans cette relation, \(\rho\) est en \(\text{kg.m}^{-3}\), \(V\) est en \(\text{m}^3\) et \(g\) est en \(\text{N.kg}^{-1}\).

Exercice 1 : Un solide suspendu à un ressort

Un solide (S) a une masse $m = 150 \text{ g}$. Il est accroché à un ressort. La constante de raideur du ressort est $K = 30 \text{ N/m}$. On prend $g = 10 \text{ N/kg}$.

1. Quelles sont les forces qui agissent sur le solide (S) ?

2. Écrire la condition d'équilibre du solide.

3. Calculer l'allongement $\Delta \ell$ du ressort.

Correction de l'exercice 1

Exercice 2 : La poussée d'Archimède

Un solide a un volume $V = 500 \text{ cm}^3$ et une masse $m = 0,3 \text{ kg}$. On le plonge dans l'eau. La masse volumique de l'eau est $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$. On prend $g = 10 \text{ N/kg}$.

1. Calculer le poids $P$ du solide.

2. Calculer la poussée d'Archimède $F_A$ quand le solide est totalement immergé.

3. Comparer \(P\) et \(F_A\). Le solide flotte-t-il ? Justifiez.

4. Le solide finit par flotter à la surface. Calculer alors son volume immergé \(V_{\text{immergé}}\).

Correction de l'exercice 2

Exercice : Sphère immergée suspendue à un ressort (Poussée d'Archimède et Loi de Hook)

Une sphère homogène, de rayon $r = 5 \text{ cm}$, est fabriquée dans un matériau de masse volumique $\rho_s$. Elle est totalement immergée dans l'eau et suspendue à un ressort vertical en un point $B$ situé à son sommet. L'ensemble est en équilibre.

1. Déterminer les valeurs du poids $P$ de la sphère et de la poussée d'Archimède $F_A$ exercée par l'eau sur le solide.

2. Le solide étant en équilibre, les forces extérieures appliquées à cette sphère sont colinéaires, verticales et leur direction passe par $G$, le centre d'inertie de la sphère. Déterminer la valeur de la force de rappel $T$ du ressort.

3. Représenter les trois forces s'exerçant sur le solide à une échelle convenable.

4. Déterminer l'allongement $\Delta \ell$ du ressort, sachant que sa constante de raideur est $K = 40 \text{ N/m}$.

Données :

$g = 10 \text{ N/kg}$

$\rho_s = 2,5 \times 10^3 \text{ kg/m}^3$

$\rho_{\text{eau}} = 1000 \text{ kg/m}^3$

Volume d'une sphère : $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ (on prendra $\pi \approx 3$ pour simplifier les calculs).

Correction de l'exercice 3