Exercices Corrigés - Chute verticale d'un solide

Applications : lois de Newton - chute verticale d'un solide.

2 Bac biof : sciences physiques et mathématiques.

Exercice 1 : Cours - Chute libre verticale d’un solide.

On considère un solide de symétrie sphérique (une bille) de centre d’inertie G, de masse m, à t=0s le solide est lâché sans vitesse initiale d’un point confondu avec l’origine O du repère R,d’altitude H=2m par rapport au sol. Le solide n’est soumis qu’à son poids, et on considère que le champ de pesanteur est uniforme, d’intensité g.

1.  En appliquant la 2° loi de Newton montrer que dv/dt=g .
2. En prenant comme conditions initiales qu’à t=0, le centre d’inertie G est en O, trouver l’équation horaire du mouvement z(t).
3. On réalise le pointage des positions successives prises par G dans le repère d’étude et on trace la courbe z(t) (figure 3). En exploitant la courbe de variation de z(t) trouver l’intensité g du champ de gravitation.
4. En déduire la vitesse du solide lorsqu’il atteint le sol.

Exercice 2 : chute verticale d’une bille d’acier dans un fluide.

Une bille de masse m=6g, totalement immergée dans un fluide est libérée sans vitesse initiale.la bille se déplace verticalement dans le fluide sous l’action d’une force de frottement fluide dont la forme f = kV² .

Partie : 1 - On néglige la poussée d’Archimède.

La figure 1 représente la variation de la vitesse v(t) de la bille au cours de sa chute dans le fluide.

1. Relever graphiquement la vitesse limite V_l, le temps caractéristique τ de la chute.
2. Établir l’équation différentielle du mouvement en prenant l’axe (oz) vertical vers le bas.
3. Exprimer l’accélération initiale de la bille en fonction de g puis en fonction de k, m et V_l.
4. Exprimer et calculer la valeur de la constante k.

Partie 2 : 

Plus que la force de frottement fluide, la bille subit l’action de son poids et de la poussée d’Archimède. On note alors :

e_f :La masse volumique du fluide

e :La masse volumique de la bille.

1. Représenter les forces appliquées à la bille pendant sa chute dans le liquide.
2. Appliquer la 2° loi de Newton et montrer que : dv/dt=A -B.V² .
3. Exprimer dans ce cas la vitesse limite V_l en fonction de e_f , e ,m ,g et k .
4. Donner l’expression de l’accélération initiale a₀  en fonction de e_f, e et g.

Exercice 3 : Etude du mouvement de chute verticale d’une bille dans un liquide visqueux.

• Dans tout l’exercice on néglige la poussée d’Archimède par rapport aux autres forces.
• En se place dans un référentiel terrestre supposé galiléen.
• L’accélération du pesanteur g =10 m.s^-2.

On suit le mouvement d’une bille de masse m=2,5.10^-2 Kg dans un liquide visqueux, la position du centre d’inertie G de la bille est repérée à chaque instant t par Y sur l’axe    ( la figure).

La bille se déplace verticalement sous l’action d’une force de frottement fluide ,  K est une constante positive.

1. En appliquant la deuxième loi de Newton  sur la bille montrer que l’équation différentielle que vérifie la vitesse du centre d’inertie G s’écrit :  .
2. Trouver l’expression de la vitesse limite v_l du centre d’inertie G en fonction de g , m , K .
3. L’évolution temporelle de la vitesse est représentée sur la figure 2 .déterminer graphiquement la valeur de la vitesse limite v_l ,ainsi que la durée Δt du régime transitoire.
   
4. Montrer la relation : .
5. Vérifier graphiquement que g=10 m.s^-2 .
6. On considère le tableau ci-contre, on prend le pas de calcul Δt_p =0,015s. Justifier le choix de cette valeur.
7. à l’aide de la méthode d’Euler, Calculer a₁ à l’instant t₁ , la vitesse v₃.

Corrigés exercices 2 et 3 .

Solution exercice 3 : chute verticale dans un fluide visqueux.

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