Exercices corrigés : mouvement d'un projectile

Série d'exercices corrigés en mécanique 2 bac . mouvement plan - étude du mouvement d'un projectile  

sciences physiques et mathématiques

Exercice 1 :  Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur

Un projectile (S) quitte un point A situé à une hauteur h=1m par rapport au sol, d’une vitesse  faisant un angle α avec l’horizontale. Un obstacle de hauteur H=5m est disposé à une distance D=8m(la figure).

Données :

On néglige tous les frottements avec l’air.

• la masse de projectile m=2kg .
•  La vitesse initiale de tir V₀=16m/s
• L’accélération de pesanteur : g=10 m.s^-2

1. Quelle est la nature du mouvement sur l’axe (ox), justifier ?
2. Donner les expressions littérales des équations horaires du mouvement.
3.  Montrer que l’équation de la trajectoire dans le repère cartésien prend la forme :       
4. Vérifier que pour  α =45° le projectile dépasse l’obstacle.
5. Préciser la valeur minimale d’angle de tir  pour lequel le projectile passe au-dessus de l’obstacle.
6. Par une méthode de votre choix, déterminer les coordonnées du point d’impact P sur le plan horizontal (π).
7.  Soit  l’angle entre le support du vecteur vitesse  en P et l’axe des abscisses  , trouver α'.
8. Cette fois, le plan est incliné d’un angle β=20°, retrouver l’angle  ,sachant que OC=9m.

Exercice 2 : Tir d’un projectile avec frottement fluide .

On lance un projectile (s) dans le plan (O,x,y) ou règne le champ de pesanteur considéré uniforme. Plus la force du poids le projectile est soumis à une force de frottement fluide de forme :

1. Établir l’équation différentielle vérifiée par V_y , la composante du vecteur vitesse suivant l’axe des ordonnées.
2. Vérifier que l’expression : V_y= a +b.e^-αt est une solution pour cette équation.
3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par V_x, et proposer une solution.
4. Donner l’expression littérale du vecteur vitesse de centre d'inertie du projectile dans la base du repère.

Exercice 3 : mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

Un ion de charge q > 0 ,de masse m est émis d’une vitesse initiale  à partir d’une fente (la figure) , on considère que :  

Zone 1 : Entre les deux plaques P et P’, règne un champ électrostatique uniforme  , on note alors PP’=d. dans zone 2 de déviation où règne un champ magnétique uniforme .

Partie 1 : étude du mouvement dans la zone d’accélération - zone 1

1. Représenter sur la figure le champ électrostatique et donner l’expression de la force électrostatique .
2. Montrer que le mouvement sur l’axe (ox) est rectiligne accéléré.
3. Exprimer en fonction de temps : La vitesse de l’ion V(t) ,L’abscisse occupé x(t), En déduire la relation V(x) : c’est la relation indépendante du temps.
4. Pratiquement la vitesse initiale V₀ est très faible ,montrer que la vitesse de pénétration  V_s s’écrit :
5. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique retrouver de nouveau l’expression de V_s  .

Partie 2 :étude du mouvement dans la zone de déviation.

L’observation expérimentalement la trajectoire, montre qu’elle a une forme circulaire (la figure).

1. Donner l’expression générale de la force magnétique  .
2. Donner l’expression de la force magnétique en M, dans la base de Frenet.
3. Montrer que le mouvement de l’ion est circulaire uniforme, et donner l’expression de rayon de courbure R en fonction de  U ,  m, q et B .
4. On considère deux ions de même charge q et de masses respectives m_A et m_B, calculer le rapport    en fonction des données.

Exercice 4 : mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme

• Cet exercice est réservé aux élèves sciences mathématiques 

On étudie le mouvement d’une particule chargée, émise d’une vitesse initiale  de l’origine du repère :  la figure .

1. Montrer que le mouvement de la particule est uniforme sur l’axe (ox).
2. Montrer que l’équation de la trajectoire prend la forme : .
3. Préciser la nature de la trajectoire entre le point S (sortie) et le point d’impact M sur l’écran, justifier ?
4. Déterminer t_s :l’instant d’arrivé au point de sortie S. donner alors les coordonnées du vecteur vitesse .
5. Montrer que :  x_I  = d / 2  .
6. Pour quelle condition(s) sur le champ E, la particule quitte la zone entre les deux plaques(sans choc).
7. O’M représente la déviation électrostatique : montrer que  U = S_V .O'M , que représente S_V pour l’oscilloscope.

Exercice 5 : mouvement vertical d'un projectile dans le champ de pesanteur

• Extrait mécanique partie 1 : rattrapage physique 2019

L’objectif de cette partie de l’ exercice est d’étudier le mouvement d’une balle dans le champ de pesanteur uniforme .

On lance verticalement vers le haut avec une vitesse initiale  ,à un instant choisi comme origine des dates(t=0),une balle de masse m d’un point A situé à une hauteur h=1,2m du sol.

On étudie le mouvement du centre d’inertie G de la balle dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen. On repère la position de G, à un instant t, dans le repère  par la cote z (Figure 1).

On considère que les forces de frottement et la poussée d’Archimède sont négligeables.

1 .Définir la chute libre.

2. En appliquant la deuxième loi  de Newton ,établir l’équation différentielle vérifiée par la vitesse Vz du centre d’inertie G.

3 .Montrer  que l’équation horaire du mouvement de G s’écrit sous la forme :

Z(t)=(-1 /2).g.t² +V₀.t +h

4- La courbe de la figure 2 représente les variations de la vitesse Vz en fonction du temps.

En exploitant le graphe de la figure 2,écrire l’expression numérique de la vitesse Vz=f(t).

5- le centre d’inertie G passe, au cours de la montée, le point B situé à une hauteur D du sol .avec une vitesse V_B=3m/S (figure1).

Montrer que D=5,75m.

6 -On lance de nouveau, à un instant choisi comme nouvelle origine des dates (t=0),verticalement vers le haut, la balle du même point A avec une vitesse  initiale V₀’ =8m/s . Le centre d’inertie G de La balle atteint-il le point B ?Justifier votre réponse.

Correction exercice 5 :  la partie 1 mécanique rattrapage 2019 sciences physiques

1 ) un solide est en chute libre s’il n’est soumis qu’à son poids .

2) le système étudié {La balle (s)}

Forces extérieures :  Poids  de (s).

La 2° loi de Newton

=m=m

La projection sur l’axe .

-mg=maz

 az=-g

Donc

dVz/dt=-g

Un calcul simple de primitive conduit alors à l’équation de vitesse

Vz(t)=-g.t +V_0z

Avec V0z n’est que la vitesse initiale à t=0s du projectile. le mouvement étant vertical donc V_0z=V0 .

Vz(t)=-g.t +V0

3) De même (calcul de primitive) on obtient l’équation horaire de second degré du temps.

Z(t)=(-1/2).gt² +V₀t +Z₀

La condition initiale Z0=h ;

4)d’après le graphe de la figure 2 ,La vitesse du centre d’inertie G est une fonction affine de temps.

On pose alors Vz(t)=A.t +B .

Avec A représente la pente de la droite Vz(t).

Donc A=-10 /1 =-10(m.S-2)

A t=0s on a Vz(0)=10m/s=B

Soit alors l’expression numérique de la vitesse  : Vz(t)=-10t +10 .

Remarque importante :

Par identification avec l’expression trouvée à la question 2,on peut déduire que g=10m/s-2

5)D’après le graphe (figure2) la vitesse de la balle (le projectile) atteint  la valeur VB=3m/s à la date tB=0.7s. On remplace tB dans  l’équation horaire de la question (3).

Application numérique:

Z(t_B)=D=-(1/2).10.0,72 +10.0,7 +1,2=5,75m

6)Même avec un changement de vitesse l’équation de vitesse et l’équation horaire gardent leurs formes inchangées, 

Soit H l’altitude maximale atteinte par la balle (elle correspond au point F la flèche).

Au sommet on a

Vz=0 donc -g .t_F+V0’ =0 donc t_F=V0’ /g

Application numérique: t_F=0,8(s).

On remplace la valeur de t_F dans l’équation horaire:

Z(t_F)= =-(1/2).10.t_F² +8.t_F +1,2

Application numérique : Z(t_F)= =-(1/2).10.0,8² +8.0,8 +1,2=7,28 >ZB

Conclusion la balle atteint le point B.

x

x

x