دراسة حركة قذيفة في مجال الثقالة

الحركات المستوية : Mouvements plans 

I- دراسة حركة قذيفة في مجال الثقالة.

نهتم في هذا الجزء بدراسة حركة جسم في مجال الثقالة (قذيفة) ونهمل (في هذه الدراسة) تأثير الهواء (دافعة أرخميدس و قوة الاحتكاك المائع) بحيث نعتبر القذيفة في سقوط حر.

1- معادلة المسار .

من نقطة O أصل معلم الفضاء   نرسل في لحظة  t₀=0s قذيفة (s) بسرعة بدئيه متجهتها  تكون زاوية ألفا مع المحور   و تنتمي للمستوى.

نطبق القانون الثاني لنيوتن على القذيفة في المعلم الأرضي الغاليلي .

جرد القوى الخارجية:  وزن القذيفة .

لدينا    .m  =   

 .m  =  

نسقط على المحور : 0 = m.a_x أي a_x = 0 

نسقط على المحور  : m.a_y = - m.g  أي a_y = - g

نسقط على المحور : m.a_z = 0 أي a_z = 0

بما أن a_x = 0  فإن V_x= Cte = V_0x  مع  (V_0x = V₀.cos(α 

و بالتالي     (V_x=V₀.cos(α يعني أن (V_x(t)=V₀.cos(α

بما أن a_y=-g  .بحساب التكامل نجد : V_y= - gt+V_0y بحيث  (V_0y = V₀.sin(α

وبالتالي  يصبح تعبير إحداثي السرعة على المحور   :  (V_y(t)=-gt+ V₀.sin(α

و لدينا a_z=0 إذن V_z=Cte=V_0z=0 .ومنه تكون إحداثيات متجهة السرعة في المعلم   هي  :                 

    لنجد المعادلتين التفاضليتين للحركة على كل من المحورين  و  .

لدينا     (V_x=dx/dt==V₀.cos(α   بحساب التكامل نجد  x(t)= V₀cos(α).t + x₀.

x₀:تمثل أفصول القذيفة عند أصل الزمن .في الحالة المدروسة ,عند أصل الزمن القذيفة توجد عند أصل المعلم O و بالتالي x₀=0 .تصبح المعا دلة الزمنية للحركة على المحور (ox) كالتالي : x(t)= V₀.cos(α).t 

-على المحور (oy)   :                                                                                                        

             (V_y=dy/dt=-g.t+ V₀.sin(α  

بحساب التكامل نجد :   y(t)= - g.(1/2).t²+ V₀.sin(α ).t+y₀ 

.عند أصل الزمن y₀=0 و بالتالي المعادلة الزمنية على المحور (oy) تصبح :

  y(t)= - g.(1/2).t²+ V₀.sin(α).t

-على المحرور (oz) :

                         V_z=dz/dt=0 بحساب التكامل نجد : z(t)=z₀=0 .

تعبير متجهة الموضع  : 

لتحديد معادلة المسار ,نقصي الزمن t بين المعادلتين (*) و (**)  .

في المعادلة (*) لينا:

نعوض في المعادلة (**) : 

و بالتالي يصبح تعبير معادلة المسار كالتالي : 

(***)        

المسار المحصل عليه (مسار القذيفة) شلجمي.

مع شرط أن تكون زاوية القذف α محصورة بين 0 و °90 : 

2) مميزات الحركة .

تتميز الحركة بالمدى و قمة المسار.

*المدى هو المسافة OP: 

في الحالة المدروسة المدى هو أرتوب أبعد نقطة تصلها القذيفة x_P=OP .عند النقطة P يكون لدينا y_P=0 و بالتالي :

     y_p=-g.x²_P.(1/[2.V₀².cos(α)²])+tan(α).x_P=0

نعمل بالأفصول xp نجد :

 x_P( -g.x_P.(1/[2.V₀².cos(α)²])+tan(α))=0

أي أن : x_P=2.V₀².cos(α)².tan(α)/g أو  x_P=0

الحل المقبول فيزيائيا هو : 

    OP=x_P=2.V₀².cos(α)².tan(α)/g

(****) V₀².sin(2α)/g= 

لأن    (2sin(α).cos(α)=sin(2α

للحصول على أكبر مدى ممكن, يجب أن يكون sin(2α)=1 إذن α =π/4 

و المدى القصوي في هذه الحالة هو :    OP_max=V₀²/g

*قمة المسار la flèche:

قمة المسار F هي النقطة التي توافق أعلى ارتفاع يصله الجسم  (القذيفة) أثناء حركته انطلاقا من نقطة القذف بالنسبة لنفس الزاوية ألفا .

عند القمة يكون الأرتوب (y(x قصوى بالنسبة للأفصول x , و هو ما نعبر عنه رياضيا بالعلاقة :

           dy/dx)_F=0)

بحساب مشتقة  الأرتوب y بالنسبة للأفصول x نجد :

g.x_F.(1/[V₀².cos(α)²])+tan(α)=0-

 H = x_F=V₀².cos(α)².tan(α)/g

(*****)   (V₀².sin(2α)/(2.g=   

نعوض أفصول قمة المسار  x_F في معادلة المسار (***). 

بحساب بسيط نجد العلاقة :  (y_F=V₀².sin(α)²/(2.g

ملحوظة: يمكن الحصول على إحداثيات قمة المسار بطريقة ثانية .عند قمة المسار يكون إحداثي السرعة على محور الأراتب منعدما (انظر الشكل)

و بالتالي v_y=(dy/dt)_F=0  ثم نقوم باشتقاق المعادلة الزمنية ل (y(t  بالنسبة للزمن t.نحصل على الزمن t_F لحظة وصول القذيفة لقمة المسار ,ثم نعوض الزمن t_F في المعادلة الزمنية للحركة العلاقة (*) و العلاقة (**)  فنحصل على إحداثيات قمة المسار.

للتمارين التطبيقية المباشرة للدرس:

تمارين الميكانيك : معادلة المسار لحركة قذيفة في مجال الثقالة

****