Exercices corrigés : La Décroissance radioactive

Exercices : Transformations nucléaires, La décroissance radioactive deuxième bac BIOF sciences physiques, mathématiques et Svt. Option Française Section internationale - Exercices résolus

Exercice corrigé 1 - Décroissance radioactive  : l’essentiel du cours (incontournable).

1.  le noyau Uranium ²³⁸U est radioactif. Définir la radioactivité. Peut-ton arrêter ce processus !
2.  les noyaux  sont deux isotopes du même élément chimique carbone. Donner la notion d’isotopie.
3.  Définir et préciser le mécanisme des principaux types de désintégration : β⁺, β^-, α et l'émission ɣ.
4.  Donner la loi de décroissance radioactive, Nommer chaque terme.
5.  Définir la demi-vie t _1/2 d’un échantillon radioactif. Monter que t _1/2 = ln (2) /λ  .
6.  L’activité d’un échantillon radioactif est mesurée à l’aide d’un compteur de radiation appelé Compteur Geiger. Donner la définition et l’expression de l’activité a(t).

Correction d'exercice 1 de la série. 

Q1.La radioactivité est un phénomène, imprévisible, spontané et naturel, au cours duquel un noyau instable X se transforme en un noyau plus stable Y avec émission d’une ou plusieurs particules.

Q2.deux isotopes ont le même nombre de protons Z mais de nombres de masse A différents.

Q3.La radioactivité β^- correspond à l’émission d’un électron de symbole  appelé particule β^- ; lors de cette désintégration un neutron se transforme au sein du noyau en proton, suivant l’équation phénoménologique :

            →  + 

  La radioactivité β^- concerne les noyaux qui ont un excédent en neutrons.

Dans le cas d’une radioactivité β⁺ la particule produite est le positron :

Au sein du noyau un proton se transforme en neutron, suivant l’équation phénoménologique :

La radioactivité β⁺ concerne les noyaux qui ont un excédent en protons.

 →+  

La désintégration de type α concerne les noyaux lords (A>200) la particule produite est   : c’est le noyau d’hélium.

Il se peut que le noyau fils (la particule produite) soit dans un état plus énergétique « état excité » noté  .Dans ce cas la particule perde de l’énergie sous forme d’un rayonnement électromagnétique ,le photon noté ɣ

            

Q4.soit N(t) le nombre de noyau non désintégré (restant) d’un échantillon radioactif, le nombre N(t) est exprimé par la loi :N(t)=N₀e^{-λ t} avec N₀ le nombre de noyaux radioactifs à l’instant t=0, λ est la constante radioactive (ou constante de désintégration).

Q5.La demi-vie et la durée au bout de laquelle la moitié de la quantité initiale des noyaux radioactifs contenus dans d’échantillon s’est désintégrée.

A t_½ on a N(t_½) =N₀ / 2 donc :  N₀ e ^-λ t½= N₀ / 2

                                         e^- λ t½ = 1 / 2   on obtient :λ. t _½ =ln(2) .

Finalement :                          t_½= ln(2) / λ

Q6 .l’activité a(t) d’un échantillon radioactif est le nombre de désintégration par seconde .L’activité et en Becquerel (Bq). a(t)=a₀e^-λ t avec a₀ =λN₀ 

Exercice  corrigé 2 - Transformations nucléaire décroissance radioactive :

L’iode  est utilisé en médecine, sa demi-vie est 8.1 jours et d’une radioactivité β^-.

1. Donner l’expression de l’activité a(t) en fonction de λ et N(t).
2. Calculer l’activité radioactive a de cet échantillon.

Données :  ₅₄Xe, ₅₂Te. La Constante d’Avogadro N_A=6.02 .10²³ mol^-1. 

Approximation : m_{p ~} m_n.

Correction exercice 2 de la série de   transformations nucléaires 2 bac biof   

Q1. Composition du noyau : Le noyau de l’iode comporte un nombre de protons de Z=53, et un nombre N=78 de neutrons.

Q2. Le nombre de neutron est grand par rapport au nombre de proton, on doit avoir une désintégration de type bêta moins : β^-.

Q3. Équation de désintégration ( transformation nucléaire) type bêta moins : β^- 

D’après la loi de conservation de Soddy :

Conservation de nombre protons : 53=Z -1 donc Z=54

Conservation de nombre de nucléons : 131=A

Le noyau fils n’est que : ₅₄Xe et la réaction de désintégration devient sous la forme :

Q4. soit N le nombre de noyaux contenus dans un gramme d’échantillon d’iode.

On a la quantité de matière :  on obtient alors    

 Application numérique : N=(1 / 131).6,02 .10²³=4,59.10²¹(noyaux).

Remarque :

Le nombre de noyaux peut se mettre sous la forme : .Le terme n’est que la masse atomique m_a d’élément iode. Qui a comme valeur :  m_a=Z.m_p+(A-Z) m_n , Or l’exercice 2 propose l’approximation m_p ~ m_n

Soit donc m_a= Z.m_p+(A-Z). m_p=Am_p et le résultat final est :  

Q 5 . On sait que   λ = ln(2)/ t_½.  (La démonstration n’est pas demandée)

Application numérique :λ= ln ( 2 )  / ( 8,1.24.3600) = 9,9.10^-7 s^-1

Q 6. L’activité nucléaire à un instant t de l’échantillon est : a(t)=a₀e^-λt=l N0. e^-λt

Et puisque : N(t)=N₀e^-λt déjà calculé dans la question 4.

On a alors a=λ.N, Application numérique : a=9,9.10^-7 . 4,59.10²¹=4,55 .10¹⁵(Bq).

Exercice corrigé 3 - Décroissance radioactive radioactivité de l'élément phosphore P:

Le phosphore 32, isotope radioactif artificiel est utilisé en médecine nucléaire. Le phosphore 32 émet un rayonnement β^- .Son pouvoir de pénétration est très faible : il n'agit que sur 1 à 2 mm Sa demi-vie est t_1/2 = 14,28 jours.

Il se présente sous forme d'une solution d'hydrogénophosphate de sodium qui s'injecte par voie veineuse pour traiter la polyglobulie primitive (maladie de Vaquez). Il se fixe effectivement sur les globules rouges car il suit le métabolisme du fer, abondant dans ces globules et son rayonnement détruit les hématies en excès.

1.  Ecrire l'équation de la désintégration radioactive du phosphore 32.
2.  Donner la loi de décroissance radioactive.
3.  Retrouver la relation entre λ et t_1/2 ? En déduire la valeur de λ.
4. Donner la définition de l'activité A(t) d'un échantillon radioactif. Donner son expression en fonction du temps en faisant apparaître la constante radioactive λ. Quelle est l’unité SI de l’activité ?
5.  Lors d'un traitement, un patient reçoit par voie intraveineuse une solution de phosphate de sodium contenant une masse m₀ = 10,0 ng de phosphore 32.

            5.1 Calculer la quantité initiale N₀ de noyaux et l'activité initiale A₀ de cet échantillon.

            5.2 Déterminer l'instant t₁ où l'activité sera divisée par 10 ?

            5.3 En réalité, à l'instant t₁, l'activité est beaucoup plus faible. Pourquoi ?

Données :

• une unité de masse atomique : 1 u = 1,660 54 × 10^-27 kg
• masse du noyau m ( ) = 31,965 68 u
• Extrait de la classification périodique des éléments :

• 11Na

  12Mg

  13Al

  14Si

  15P

  16S

  17Cl

Correction d’exercice 3 : décroissance radioactive

Cet exercice est presque similaire à l’exercice 2 de la série .

Q1. Application des lois de Soddy :

 Conservation de charge :  A+4=210 donc A=206

Conservation des nucléons : Z+2=84 donc Z =82

Q2. La constante de radioactivité l est donné par la relation :  λ =ln ( 2 )/  t½

 Application numérique : λ= ln(2) /(138*24*60*60)=5,8 .10^-8 s^-1

Q3. On sait maintenant la valeur de la constante de radioactivité, Or la masse est liée au nombre de noyaux dans l’échantillon N, On doit penser à utiliser la relation a(t) =  λ N(t).donc :

Application numérique : m₀=3.10^-14g

Q4 .la question ne présente pas de grande difficulté, il suffit d’appliquer la relation de décroissance radioactive (d’activité) :  a(t)=a₀e^-λt avec t=30 jours.

L’application numérique donne : a=4.3Bq

Exercice corrigé 4 - Décroissance radioactive : l'élément Polonium.

Le noyau de polonium   a une radioactivité α,il se désintègre pour donner le plomb   et un noyau fils ,particule .L’équation de désintégration :      →        +  

1.  Déterminer les valeurs de A et Z.
2.  Donner la relation entre la constante radioactive λ et la demi-vie du polonium. Calculer sa valeur sachant que la demi-vie du polonium 210 est t_1/2 =138 jours.
3.  On prépare un échantillon de polonium constitué seulement de noyau ²¹⁰ Po, Le Compteur Geiger indique une activité a₀ =5Bq.trouver la masse de l’échantillon.
4.  Calculer la valeur de l’activité radioactive du même échantillon après 30 jours de sa préparation.

Données : masse molaire du Polonium M(Po)=210g/mol.

Exercice 5 :décroissance radioactive :autre expression d'activité.

On considère un échantillon radioactif, à l’instant t, N(t) représente le nombre de noyaux non désintégrés (nombre restant de noyaux). 

1. Donner la loi de désintégration radioactif.
2. Déterminer l’expression de la durée de demi-vie t _1/2 .
3. Définir l’activité d’un échantillon radioactif, et monter que a(t)=a₀2^-p, avec p=t/t_1/2

Exercice  corrigé 6 : Décroissance radioactive: La datation par Potassium.

Le potassium est un élément radioactif, il se désintègre en donnant de l’Argon 40   ,le potassium est présent dans les roches volcaniques.la date de l’éruption volcanique est prise comme origine de temps t=0, la lave formée contient un nombre N0 d’atomes potassium (à t=0 ,la lave ne contient pas d’Argon).

à l’instant t on prélève un échantillon volcanique et on trouve les masse : m_k=1,57 mg et m_Ar=82 μg .

1.  Calculer N₀ le nombre des noyaux de potassium présents dans l’échantillon à t=0 .
2. Déterminer la date t  lors du prélèvement.

Données :

• demi-vie de l’élément potassium : t _1/2 = 1,9.10⁹ ans
• La Constante d’Avogadro N_A=6.02 .10²³ mol^-1
• On considère que M(K)=M(Ar)=40g/mol .

Voir aussi  la série d'exercices :  Transformations nucléaire 2 bac biof

la version arabe sur le lien :  التحولات النوويةالتناقص الإشعاعي

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