Mouvements plans

Série d'exercices corrigés en mécanique 2 bac . Mouvement plan - étude du mouvement d'un projectile

Exercice 1 : Mouvement d’un projectile dans le champ de pesanteur

Un projectile (S) quitte un point A situé à une hauteur h=1m par rapport au sol, d’une vitesse $\overrightarrow{v_0}$ faisant un angle α avec l’horizontale. Un obstacle de hauteur $H=5m$ est disposé à une distance $D=8m$(la figure).

Données : On néglige tous les frottements avec l’air.

la masse de projectile m=2kg , La vitesse initiale de tir $V_{0}=16m/s$ L’accélération de pesanteur : $g=10 m.s^{-2}$

1. Quelle est la nature du mouvement sur l’axe (ox), justifier ?

2. Donner les expressions littérales des équations horaires du mouvement.

3. Montrer que l’équation de la trajectoire dans le repère cartésien prend la forme : $$ y =-g.\frac{x^{2}}{2.cos^{2}(\alpha).{V_{0}}^{2}} +tan(\alpha).x +h $$

4. Vérifier que pour $\alpha$ =45° le projectile dépasse l’obstacle.

5. Préciser la valeur minimale d’angle de tir pour lequel le projectile passe au-dessus de l’obstacle.

6. Par une méthode de votre choix, déterminer les coordonnées du point d’impact P sur le plan horizontal (π).

7. Soit l’angle entre le support du vecteur vitesse $\overrightarrow{V_{p}}$ en P et l’axe des abscisses $\alpha ' =(x,\overrightarrow{V_{p}})$ , trouver $\alpha '$.

8. Cette fois, le plan est incliné d’un angle β=20°, retrouver l’angle $\alpha _{1}=(\overrightarrow{CP'},\overrightarrow{V_{p'}})$ ,sachant que OC=9m

Exercice 2 : Tir d’un projectile avec frottement fluide .

On lance un projectile (s) dans le plan (O,x,y) ou règne le champ de pesanteur considéré uniforme. Plus la force du poids le projectile est soumis à une force de frottement fluide de forme $\overrightarrow{f}=-k.\overrightarrow{V}$:

1. Établir l’équation différentielle vérifiée par $V_{y}$ , la composante du vecteur vitesse $\overrightarrow{V}$suivant l’axe des ordonnées.

2. Vérifier que l’expression : $V_{y}= a +b.e^{-\alpha t}$ est une solution pour cette équation.

3. Etablir l’équation différentielle vérifiée par $V_{x}$, et proposer une solution.

4. Donner l’expression littérale du vecteur vitesse $\overrightarrow{V}$ de centre d'inertie du projectile dans la base du repère.

Exercice 3 : mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme

Un ion de charge q > 0 ,de masse m est émis d’une vitesse initiale à partir d’une fente (la figure) , on considère que : $V_{p}-V_{p'}=U>0$

Zone 1 : Entre les deux plaques P et P’, règne un champ électrostatique uniforme $\overrightarrow{E}$ , on note alors PP’=d.

Dans la zone 2 de déviation où règne un champ magnétique uniforme $\overrightarrow{B}=B.\overrightarrow{K}$

Partie 1 : étude du mouvement dans la zone d’accélération - zone 1

1. Représenter sur la figure le champ électrostatique et donner l’expression de la force électrostatique $\overrightarrow{F_{e}}$.

2. Montrer que le mouvement sur l’axe $(ox)$ est rectiligne accéléré.

3. Exprimer en fonction de temps : La vitesse de l’ion $V(t)$ ,L’abscisse occupé $x(t)$, En déduire la relation $V(x)$ : c’est la relation indépendante du temps.

4. Pratiquement la vitesse initiale $V_{0}$ est très faible ,montrer que la vitesse de pénétration $V_{s}$ s’écrit : $$V_{s}=\sqrt{\frac{2.q.U}{m}}$$

5. En appliquant le théorème de l’énergie cinétique retrouver de nouveau l’expression de $V_{s}$ .

Partie 2 : Le mouvement dans la zone de déviation

L’observation expérimentalement la trajectoire, montre qu’elle a une forme circulaire (la figure).

6. Donner l’expression générale de la force magnétique $\overrightarrow{F_m}$.

7. Donner l’expression de la force magnétique en M, dans la base de Frenet.

8. Montrer que le mouvement de l’ion est circulaire uniforme, et donner l’expression de rayon de courbure R en fonction de U , m, q et B .

9. On considère deux ions de même charge q et de masses respectives mA et mB, calculer le rapport $\frac{R_{A}}{R_{B}}$ en fonction des données.

Exercice 4 : mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme

On étudie le mouvement d’une particule chargée, émise d’une vitesse initiale $\overrightarrow{V_{0}}$ de l’origine du repère $R(O,\vec{i},\vec{j})$ la figure .

1. Montrer que le mouvement de la particule est uniforme sur l’axe (ox).

2. Montrer que l’équation de la trajectoire prend la forme : $y=\frac{eE}{2.m.v_{0}^{2}}.x^{2}$

3. Préciser la nature de la trajectoire entre le point S (sortie) et le point d’impact M sur l’écran, justifier ?

4. Déterminer $t_{s}$ :l’instant d’arrivé au point de sortie S. donner alors les coordonnées du vecteur vitesse $\overrightarrow{V_0}$.

5. Montrer que : $x_{I} = \frac{d}{2}$ .

6. Pour quelle condition(s) sur le champ E, la particule quitte la zone entre les deux plaques(sans choc).

7. O’M représente la déviation électrostatique : montrer que $U = S_{V} .O'M$ , que représente $S_{V}$ pour l’oscilloscope.