Dipôle RL

Série d’Exercices et Correction : Dipôle RL - 2 BAC BIOF

Exercice 1 : cours RL

On considère une bobine (symbole figure ci-contre) de résistance interne r, caractérisée d’une grandeur physique L appelée Inductance.

1. Exprimer l’unité de l’inductance L.

2. Donner l’expression de la tension uL aux bornes de la bobine en fonction des grandeurs r, L et le courant traversant la bobine .

3. Si le courant traversant le circuit est constant, que devient l’expression de uL .

4. Donner l’expression de l’énergie em magnétique emmagasinée dans la bobine.

Correction exercice 1 : cours RL

1 ) L’inductance L de la bobine s’exprime en Henry (H).

2 )Aux bornes de la bobine la tension s’exprime par la relation : $u_{L}= r.i + L\frac{di}{dt}$ .avec r la résistance interne de la bobine .

3 ) Dans le cas d’un courant constant on a : $\frac{di}{dt}=0$ donc $u_{L}= ri$ .Conclusion : pour un courant continu la bobine se comporte comme un conducteur ohmique de résistance r.

4) L’expression générale de l’énergie emmagasinée dans la bobine a la forme : $e_{m}=\frac{1}{2}.Li^{2}$.

Exercice 2 : Réponse d’un dipôle RL à un échelon montant de tension

On associe en série une bobine de résistance interne r et d’inductance L, un conducteur Ohmique de résistance notée R ,puis on ajoute au circuit un générateur délivrant une tension constante E (La figure 1) .

à un instant t=0 on bascule l’interrupteur K en position de fermeture, l’instant de fermeture est pris comme origine des dates.

1 ) En appliquant la loi d’additivité des tensions montrer que l’équation différentielle que le courant vérifie, s’écrit sous la forme : $$\tau . \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{RT}$$ ( τ est une constante qui caractérise le circuit RL ) montrer que $\tau$ est homogène à un temps.

2 ) On admet l’expression $ i(t)=A +B.e^{-m.t} $ comme solution de l’équation différentielle précédente.

a ) A partir de l’équation différentielle et sa solution, déterminer les constantes m et A.

b ) En prenant en compte la condition initiale sur le courant i(t), exprimer la constante B et réécrire la forme de la solution en fonction de E,R et le temps.

3 ) Montrer que la tension aux bornes de la bobine s’exprime comme suit : $$u_{L} (t)= \frac{E.R}{R_{T}} . e^{- \frac{t}{\tau}} +\frac{E.r}{R_{T}} $$

4 ) Dresser le graphe de variation temporelle des deux grandeurs $i(t)$ et $u_{L}(t)$ .

Correction exercice 2

Exercice 3 : Etablissement du courant dans la bobine

On réalise un circuit RL (le montage de la figure ci-dessous), le circuit comporte une bobine d’inductance L et de résistance interne r , un conducteur ohmique de résistance R, un générateur idéal de tension continue E= 6V.

on règle la valeur de la résistance R à $50 \Omega$ et on ferme le circuit .On mesure pour différentes dates l’intensité du courant dans le circuit, On groupe les résultats et on trace à l’aide d’un ordinateur l’évolution du courant $i(t)$ en fonction du temps (La figure 2).

1 ) Établir l’équation différentielle vérifiée par l’intensité $i(t)$ .

2 )Déterminer graphiquement la valeur numérique $I_{p}$ du courant dans le régime permanent.

3 ) Relever graphiquement la valeur de la constante caractéristique du circuit $\tau$ .

4 ) Réécrire l’équation différentielle de la question 1,dans le cas du régime permanent.

5 ) En déduire la valeur littérale et numérique de la résistance interne de la bobine r, ainsi que la valeur d’inductance L.

Correction exercice 3

Exercice 4 : Rupture du courant dans le dipôle RL.

On considère le montage électrique représenté sur la figure ci-contre . Le circuit comprend :

Un générateur de tension continue E=6V, Résistance R=100Ω . Une bobine caractérisée d’une résistance interne r et d’inductance L, Une diode considérée « idéale » et un interrupteur K.

Partie 1 :

Initialement, on bascule l’interrupteur K en position de la fermeture.la bobine emmagasine de l’énergie sous forme magnétique notée $E_{0m}$.

1. Reprendre la figure 1 et représenter le sens du courant dans la branche active du circuit ainsi que la voie permettant de visualiser les variations de l’intensité du courant.

2. à un instant t le régime permanent est atteint, Donner l’expression littérale de l’intensité Ip en fonction de E,r et R .

Partie 2 : Rupture du courant.

A un instant t=0, On ouvre l’interrupteur K, et on visualise l’intensité $i(t)$ aux bornes du conducteur ohmique (Figure 2).

3. Préciser, le rôle de la diode dans le circuit et la valeur numérique de la résistance interne r de la bobine.

4. Établir l’équation différentielle (*) que le courant $i(t)$ vérifie.

5. Vérifier que la forme $i(t) = I_{p}.e^{-\frac{t}{\tau}} $ est une solution de l’équation (*).

6. En déduire, l’inductance L de la bobine et l’énergie magnétique initiale emmagasinée dans la bobine $E_{0m}$. (juste avant l'ouverture).

Exercice 5 : Mesure d'inductance L d'une bobine

On réalise le montage schématisé sur la figure 1.ce montage comporte:

une bobine d'inductance L et de résistance r; un conducteur ohmique de résistance R=90ohm; un générateur de force électromotrice E et de résistance interne négligeable. un interrupteur K.

On ferme l'interrupteur à un instant de date t=0.

Un système d'acquisition informatisé permet de tracer les courbes $(C_{1})$ et $(C_{2})$ représentants successivement l'évolution de l'intensité du courant $i(t)$ traversant le circuit et l'évolution de la tension $u_{L}(t)$ représente la tangente à la courbe $(C_{1})$ à t=0.(figure 2).

1. Montrer que l'équation différentielle vérifiée par l'intensité du courant i(t) s'écrit ainsi:$$ \frac{di}{dt} + \frac{R+r}{L} .i =\frac{E}{L} $$

2. En exploitant les deux courbes $(C_{1})$ et $(C_{2})$,lorsque le régime permanent est atteint, déterminer la valeur de $r$.

3. Vérifier que $L=1H$.