Dipôle RC

Evolution des systèmes électriques Dipôle RC : ( Exercices et correction circuit RC série) Deuxième Année Baccalauréat Sciences Physiques Section internationale BIOF.

Exercice 1 : Charge d’un condensateur

Un condensateur de capacité C initialement déchargé est branché en série avec un conducteur ohmique de résistance $R=100\Omega$ et un générateur idéal de tension continue de valeur en tension E.

On étudie donc le dipôle RC série, à la date t=0s, on bascule l’interrupteur en position (1), comme le montre la figure.

1. Déterminer le sens du courant électrique ainsi que le sens des tensions des composantes du circuit puis préciser la polarité de l’armature A du condensateur.

2. Trouver l’équation différentielle que vérifie la tension $u_{c}(t)$ aux bornes du condensateur.

3. La solution générale de cette équation différentielle en tension est de la forme :$$ u_{c}(t)=A +Be^{-mt}$$.

a- En remplaçant la solution proposée dans l’équation différentielle, trouver les constantes A et m.

b-En prenant en compte la condition initiale de la tension $u_{c}(t)$, trouver la valeur de la constante B et réécrire la forme de la tension $u_{c}(t)$ en illustrant toutes les constantes. Définir alors une constante de temps qu’on la note τ.

4. La figure 2 représente l’évolution au cours du temps de la tension $u_{c}(t)$. Graphiquement trouver numériquement la constante de temps $\tau$, la tension du générateur E puis la capacité C du condensateur.

5. Montrer qu’au bout d’un temps $t_{p}=4,6 \tau$ on obtient le régime permanent. (La tension $u_{c}(t)$ atteint une valeur constante égale à E).

Correction : exercice 1

Exercice 2 : Etude de l’évolution du courant dans le circuit RC

On considère le montage du circuit de l’exercice 1.

1. En appliquant la loi d’additivité des tensions, trouver l’équation différentielle de la charge électrique $q(t)$ dans le circuit.

2. Juste après la fermeture de l’interrupteur $K$, un courant $I_{0}$ circule dans le circuit RC, trouver l’expression littérale de $I_{0}$ en fonction de R et E.

3. Etablir l’équation différentielle à laquelle obéit le courant i(t).

4. La solution de cette équation est alors : $i(t)=A e^{\frac{-t}{\tau} }$ avec $\tau=RC$ Trouver la constante A en fonction de $I_{0}$.

5. Vérifier que le courant n’est pas une fonction continue à $ t=0s$.

Exercice 3 : Capacité d'un condensateur

Un condensateur initialement déchargé est inséré dans le circuit suivant:

Le conducteur ohmique a une résistance R=100Ω. On veut alors déterminer la capacité C du condensateur et la tension E du générateur.

1. À t=0s on ferme l’interrupteur K. établir l’équation différentielle vérifiée par Uc(t).

2. Vérifier que $ u_{c}(t)=A(1-e^{\frac{-t}{\tau}}) $ est une solution de l'équation différentielle. Montrer alors que : $$ln(E-u_{c})=ln(E) - \frac{t}{\tau} $$.

3. La figure (2) donne la variation de $ln(E-u_{c})$ en fonction de t. Trouver graphiquement la valeur des grandeurs E et τ.

4. On note Ee l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur à la date $t= \tau$, et Ee(max) l’énergie électrique maximale du condensateur. Calculer le rapport $\frac{Ee} {Ee_{max}}$.

5. On insère un autre condensateur de capacité $C’$. Le circuit a donc une constante de temps égale à $\tau '= \frac{\tau}{3}$.On a inséré le condensateur $C'$ en série ,en parallèle ?justifier la réponse.

Solution : Exercice 3 RC

Exercice 4 : Décharge d’un condensateur à travers un conducteur ohmique

On considère un condensateur de capacité C, initialement chargé par l’intermédiaire d’un générateur de tension continue E, on met le condensateur en série avec un conducteur ohmique de résistance $R=100\Omega$.

le condensateur se décharge à travers la résistance R. (montage de la figure 1)

1. Orienter le circuit de décharge de la figure 1. (Sens du courant et de tensions)

2. En appliquant la loi d’additivité de tensions : Trouver l’équation différentielle de la tension $u_{c}$ aux bornes du condensateur.

3. On donne la solution de cette équation différentielle : $u_{c}(t)=A+B e^{\frac{-t}{\tau}}$. Préciser la valeur littérale des constantes A, B et m.

4. En effectuant une analyse dimensionnelle, montrer que la constante $\tau$ est homogène à un temps.

5. A l’aide d’un dispositif expérimental, on effectue l’acquisition des valeurs de la tension Uc aux bornes du condensateur en fonction du temps.

a. Déterminer graphiquement la tension de la charge E et la constante de temps $\tau$. En déduire la capacité C.

b. Par étude théorique montrer que la décharge du condensateur à lieu pour une durée $t_{p}=5 \tau$.

c. Donner l’expression de l’énergie électrique emmagasinée dans le condensateur et la calculer à $ t= \tau$, puis à $t=2 \tau$.

Exercice 5: étude de la charge q d’un dipôle RC

Après la charge d’un condensateur (l’interrupteur en position 1), à un instant de date t=0s, On bascule l’interrupteur en position 2.il y a donc décharge de condensateur à travers le conducteur ohmique de résistance R=100Ω.

1. Etablir cette fois l’équation différentielle vérifiée par la charge q du condensateur.

2. L’équation différentielle admet la solution : $q(t)=Q e^{\frac{-t}{\tau}}$. Trouver l’expression des constantes Q et $\tau$.

3. On représente graphiquement la fonction $Ln(q)$ en fonction de temps, En exploitant le graphique, trouver numériquement la valeur de la tension du générateur E et la capacité C du condensateur.