Chute libre verticale d’un solide
chute verticale d'un solide - 2 BAC BIOF : Sciences Physiques et Mathématiques.
Exercice 1 : Chute libre verticale d’un solide
On considère un solide de symétrie sphérique (une bille) de centre d’inertie G, de masse m, à t=0s le solide est lâché sans vitesse initiale d’un point confondu avec l’origine O du repère $R(O,\vec{i})$,d’altitude H=2m par rapport au sol.
Le solide n’est soumis qu’à son poids, et on considère que le champ de pesanteur est uniforme, d’intensité g.
1. En appliquant la 2° loi de Newton montrer que $\frac{dv}{dt}=g$.
2. En prenant comme conditions initiales qu'à t=0, le centre d’inertie G est en O, trouver l'équation horaire du mouvement $z(t)$.
On réalise le pointage des positions successives prises par G dans le repère d’étude et on trace la courbe z(t) (figure 3).
3. En exploitant la courbe de variation de $z(t)$ trouver l’intensité g du champ de gravitation.
4. En déduire la vitesse du solide lorsqu’il atteint le sol.
Exercice 2 : chute verticale d’une bille d’acier dans un fluide
Une bille de masse m=6g, totalement immergée dans un fluide est libérée sans vitesse initiale.la bille se déplace verticalement dans le fluide sous l’action d’une force de frottement fluide dont la forme $f=k.V_{2}$ .
Partie 1 : On néglige la poussée d’Archimède.
La figure 1 représente la variation de la vitesse $v(t)$ de la bille au cours de sa chute dans le fluide.
1. Relever graphiquement la vitesse limite $V_{l}$, le temps caractéristique $\tau$ de la chute.
2. Établir l’équation différentielle du mouvement en prenant l’axe $(oz)$ vertical vers le bas.
3. Exprimer l’accélération initiale de la bille en fonction de $g$ puis en fonction de k, m et $V_{l}$.
4. Exprimer et calculer la valeur de la constante $k$.
Partie 2 :
Plus que la force de frottement fluide, la bille subit l’action de son poids et de la poussée d’Archimède. On note alors :
$\rho_{f}$ : La masse volumique du fluide
$\rho$ : La masse volumique de la bille.
5. Représenter les forces appliquées à la bille pendant sa chute dans le liquide.
6. Appliquer la 2° loi de Newton et montrer que : $\frac{dv}{dt} = A- B.V^{2}$.
7. Exprimer dans ce cas la vitesse limite $V_{l}$ en fonction de ef , e ,m ,g et k .
8. Donner l’expression de l’accélération initiale $a_{0}$ en fonction de $\rho _{f}$ , $\rho$ et g.
Correction exercice 2
Exercice 3 : Etude du mouvement de chute verticale d’une bille dans un liquide visqueux
Dans tout l’exercice on néglige la poussée d’Archimède par rapport aux autres forces.
En se place dans un référentiel terrestre supposé galiléen, L’accélération du pesanteur $g =10 m.s^{-2}$.
On suit le mouvement d’une bille de masse $m=2,5.10^{-2} Kg$ dans un liquide visqueux, la position du centre d’inertie G de la bille est repérée à chaque instant t par Y sur l’axe $(O,\vec{j})$.
La bille se déplace verticalement sous l’action d’une force de frottement fluide $\vec{f}=-k.v.\vec{j}$ avec K est une constante positive.
1. En appliquant la deuxième loi de Newton sur la bille montrer que l’équation différentielle que vérifie la vitesse du centre d’inertie G s’écrit : $\frac{dv}{dt} +\frac{k}{m}v =g$
2. Trouver l’expression de la vitesse limite vl du centre d’inertie G en fonction de g , m , K .
L’évolution temporelle de la vitesse est représentée sur la figure .
3. Déterminer graphiquement la valeur de la vitesse limite $v_{l}$ ,ainsi que la durée Δt du régime transitoire.
4. Montrer la relation : $\frac{dv}{dt}= 10 -6,67.v$
5. Vérifier graphiquement que $g=10 m.s^{-2}$ .
6. On considère le tableau ci-contre, on prend le pas de calcul $Δt_{p} =0,015s$. Justifier le choix de cette valeur.
7. à l’aide de la méthode d’Euler, Calculer a1 à l’instant t1 , la vitesse v3.
Correction exercice 3